SIRモデルをわかりやすく!?
大学1年の時の数学の先生の教え。 『微分のことは微分でせよ(自分のことは自分でせよ)。』 高いエンジニアとしての技術力で独立して飯を食っている尊敬する学生時代の友達から、FBに書き込んだ考察について、お褒めの言葉(!?)を頂いたので、ちょっとSIRモデルについて考えてみたことをメモしておきます。 (お断り) 単なる備忘録として、また、僕のようにまだ自分では考えていなかったけど、なんかSIRがもやっと気になる人向けなので、よい子の皆様は決して読まないでください。 なんだか言葉だけが独り歩きしているSIRモデル。専門家のシミュレーションという怪しいブラックボックスを少し理解しないといけないな思いまして、SIRモデルを高校生の理系くらいでも、わかるように説明できるか考えてみた。2時間くらいしか考えていないので、間違ってたらそのときは(優しく)教えてね。もちろん、モデルなので、パラメータを足せばもっと精緻にはなります。 ========== ある人口集団(村でも島でも国でも)を考える。もちろん、モデルなので均質とする。この人口をNとする。Nは、東京なら1400万人、日本なら1.3億人とかをいれればよい。 S:未感染者(これからかかる人という仮定モデル) I:感染者(絶賛ウイルス保有中という仮定モデル) R:回復者(死亡者を含む)(もうかからない人という仮定モデル) 簡単のためNは一定とする。つまり、S+I+R=Nが保存されると考える(実際は、交通事故でNが減ったり、新生児が生まれればNは増える。)。 さて、ある日のS,I、Rとその増減について、考えていきます。 さらに、以下の過程をおきます。 感染者集団が1日あたり1/Tの割合で、回復するとする。 一人の感染者数がm人と出合い、出合った人が、 ①未感染者(S)であった場合にはp%の確率で感染させ、 ②回復者(R)または感染者(I)である場合には感染させない と仮定する。 そうすると、一人の感染者が出会う人m人のうち、未感染者の期待値は、m*(S/N)なので、Δt時間(Δt=1日みたいなイメージ)あたりに、新たに感染する人の数ΔInewについて、以下が成り立つ。 ΔInew/Δt=m*(S/N)*(p/100)*I ここで、mp/100は、当該集団におけるウイ