ＳＩＲモデルをわかりやすく！？

大学１年の時の数学の先生の教え。
『微分のことは微分でせよ（自分のことは自分でせよ）。』

高いエンジニアとしての技術力で独立して飯を食っている尊敬する学生時代の友達から、ＦＢに書き込んだ考察について、お褒めの言葉（！？）を頂いたので、ちょっとＳＩＲモデルについて考えてみたことをメモしておきます。

（お断り）
単なる備忘録として、また、僕のようにまだ自分では考えていなかったけど、なんかＳＩＲがもやっと気になる人向けなので、よい子の皆様は決して読まないでください。

なんだか言葉だけが独り歩きしているＳＩＲモデル。専門家のシミュレーションという怪しいブラックボックスを少し理解しないといけないな思いまして、ＳＩＲモデルを高校生の理系くらいでも、わかるように説明できるか考えてみた。２時間くらいしか考えていないので、間違ってたらそのときは（優しく）教えてね。もちろん、モデルなので、パラメータを足せばもっと精緻にはなります。

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ある人口集団（村でも島でも国でも）を考える。もちろん、モデルなので均質とする。この人口をＮとする。Ｎは、東京なら１４００万人、日本なら１．３億人とかをいれればよい。

Ｓ：未感染者（これからかかる人という仮定モデル）
Ｉ：感染者（絶賛ウイルス保有中という仮定モデル）
Ｒ：回復者（死亡者を含む）（もうかからない人という仮定モデル）

簡単のためＮは一定とする。つまり、Ｓ＋Ｉ＋Ｒ＝Ｎが保存されると考える（実際は、交通事故でＮが減ったり、新生児が生まれればＮは増える。）。

さて、ある日のＳ，Ｉ、Ｒとその増減について、考えていきます。

さらに、以下の過程をおきます。

感染者集団が1日あたり１／Ｔの割合で、回復するとする。

一人の感染者数がｍ人と出合い、出合った人が、
①未感染者（Ｓ）であった場合にはｐ％の確率で感染させ、
②回復者（Ｒ）または感染者（Ｉ）である場合には感染させない
と仮定する。

そうすると、一人の感染者が出会う人ｍ人のうち、未感染者の期待値は、ｍ＊（Ｓ／Ｎ）なので、Δｔ時間（Δｔ＝１日みたいなイメージ）あたりに、新たに感染する人の数ΔＩnewについて、以下が成り立つ。
ΔＩnew／Δｔ＝ｍ＊（Ｓ／Ｎ）＊（ｐ／１００）＊Ｉ

ここで、ｍｐ／１００は、当該集団におけるウイルスの基本的な感染力（ここで、特段の対策を講じなければ、という意味で、「基本的な」ということ）を示す。social distanceや手洗いやうがいやマスクによって、ｍやｐを減らせる。便宜上ｍｐ／１００＝ｋとおく。
そうすると、
ΔＩnew／Δｔ＝ｋ＊（Ｓ／Ｎ）＊Ｉ

一方で、Δｔ時間あたりに、新たに感染から回復する人の数ΔＲについて、以下が成り立つ。
ΔＲ／Δｔ＝Ｉ＊（１／Ｔ）

ここで、感染者の変化ΔＩは、新たに感染したΔＩnewの増加分と感染から回復した―ΔＲの減少分の和だから、以下が成り立つ。
ΔＩ＝ΔＩnewーΔＲ

よって、

（式１）　ΔＩ／Δｔ＝ｋ＊（Ｓ／Ｎ）＊Ｉ－Ｉ＊（１／Ｔ）
　　　　　　　　　　＝ｋ＊Ｉ＊（Ｎ－Ｉ－Ｒ）／Ｎ－Ｉ＊（１／Ｔ）

（式２）　ΔＲ／Δｔ＝Ｉ＊（１／Ｔ）

ここにはｋ、Ｔ、Ｎを定数と考えれば、変数はＩとＲしかないわけです。なので、ある日のＩとＲがわかって、ｋ、Ｔ、Ｎを設定すれば、連立させれば、シミュレーションはエクセルでもなんとかできそうです。

さて、考察です。

まず、ｋの見積り方法です。感染が初期でどんどん、増大しているときは、（式１）で、Ｎ＞＞Ｉ＋Ｒで、また、回復者数も多くないとして２項目を無視して、

（式１Ａ）ΔＩ／Δｔ＝ｋ＊Ｉと近似できます。
これは、積分すると、

（式１Ｂ）Ｉ＝Ｉｏ＊ｅｘｐ（ｋｔ）になります。
これの対数をとると
（式１Ｃ）ｌｏｇ（Ｉ）＝ｌｏｇ（Ｉｏ）＋ｋｔになります。
よって、対数でプロットすると、日本の集団でのｋが予測できます。

日本では、当初７日で倍増していた（１２５０～２５００人も、２５００～５０００人も７日だった（以下のグラフは、次のサイトからの引用です：参考）ので、自粛要請のでる４月８日くらいまでは、ｋ＝１／７と見積もることができそうです。なお、倍加速度だけを問題にできるので、実際の感染者に対する感染報告者の比が一定との仮定をおける限り、その比の値がわからなくてもｋが見積もることができるからです。

ちなみに、欧米では２，３日で倍増していたので、ｋ（欧米）は、１／３～1／２となり、これは爆発的に増加することを意味します。

自粛要請との関係ですが、このｋは、世間でいう基本再生産数Ｒ０とリニアに関係していますのでＲ０を８割減らすこととｋを８割減らすことは、同じようなものと考えてよいです。４／６日より、自粛要請により、ｋが、当初のｋよりもがぐっと小さくなってｋ’となることを想定して（政策目標にして）いるようです。本当はｋもかくんとｋ’という定数になるのではなくて、ｋも時間とともに変化します。ただ、８割という政策目標が妥当であったかは今後の検証が待たれるでしょう。

とにもかくにも、偉い人はこういうＳＩＲシミュレーションをしているのでしょう。もちろん、もっとパラメータをさらに複雑にしているかもしれません。

しかし、しかしですよ。何はともあれ、基本的なパラメータである、本日のＲやＩをなるべく正しく推定できないと、まったくシミュレーションとしての意味をなさないです。

ＩとＲは、母集団からの標本（サンプル）について、ＰＣＲや抗体検査を行うことにより、推定できます。なぜやらないのか全く意味がありません。実際に病院でＰＣＲを図った感染者数の増減にはそれほど重要な意味がないと思います。

ところで、自分でいろいろいじってみた感じでは、このモデルは、単純すぎて、もっと、変数や定数を設定しないと実際上ほとんど役に立たない可能性もあると思いました。少し動かすだけで、大きく結果が違うので、おもちゃみたいなもので、なんとでも予測ができます。各学者の先生がずいぶんと異なるシミュレーションになるのもそのせいかなと思いました。

特に気づいただけでも、
（１）ΔＲについて、感染者集団が1日あたり１／Ｔの割合で、回復するには少し無理があると思いました。むしろ、感染者は、Ｔ日後に回復するの方が、良いモデルになるかもしれません。
（２）また、ΔＩについても、感染してから感染させることができるようになって、回復するまでの一連の時間的な過程を捨象しすぎていると思います。３つくらいのパターンに感染者集団を分ける必要があるかとも思いました。他の仮定した点も同じです。
（３）また、注意点ですが、そもそも免疫力が強くて、かからない人が一定程度いるような気がします。それは、Ｓに帰属させるよりもＲに帰属させた方が将来のＩのシミュレーションとしては、適切になるのではないかと思います。

なお、変数や定数だけ増やして過去と整合性がとれたとしても、机上の遊びで、単なるオーバーフィッティングしただけという問題もあるので、過去と合わせられても、将来を占う力が弱くなる問題もあるかと思います。

そういう意味でも基本的なパラメーターである基本的なパラメータである、本日のＲやＩをなるべく正しく推定するためにも、ようやく厚生労働省は、無作為「的」な標本検査をするらしいです。遅すぎるかなという感じです。

あと、最後に気付いた一番重要なこと。ちゃんと自粛と感染予防をして、ｋを抑えないと、シミュレーション上は、１日の感染者数が今の１０倍にもそれ以上にもなりかねません。なので、きっちり、自粛と感染予防をしていきましょう！